[몬티홀의 역설] 조건부 확률
저는 현상에서 수학을 찾아서 공부하는 것을 좋아하기 때문에 아마 이런 글을 많이 올릴 것 같습니다.
이번엔 흥미롭게 공부했던 몬티홀의 역설을 가져왔습니다.
예전엔 경우의 수를 구해서 확률로 나타냈지만 지금은 조건부 확률을 공부했으니...! 이것으로 나타내보겠습니다.
과학고 들어오기 전에 이 문제를 코딩해봤는데 찾아보니 없어졌더라구요....ㅠ
그래서 코딩은 나중에 다시 해보도록 하고 이론부터 바로 가보겠습니다.
몬티홀의 역설!
이름만 들으면 잘 모르실 수도 있지만 내용을 보면 꽤 많이 알 것이라고 생각합니다.
문제의 내용은 다음과 같습니다.
1. 문 3개가 존재하고, 각각의 문 뒤에 염소 2마리, 차 1대가 있다.
2. 참가자는 어디에 무엇이 있는지 모르고, 오직 사회자만이 답을 안다.
3. 참가자가 문을 1개 고르고, 사회자는 그 문을 제외한 염소가 있는 문을 연다.
4. 참가자는 선택을 바꿀지, 바꾸지 않을지 결정하여 그 문 뒤에 차가 있으면 승리한다.
자, 추측해봅시다.
선택을 바꾸는 것이 유리할까요, 아니면 바꾸지 않는 것이 유리할까요?
고르셨나요?
정답은
바꾸는 것 입니다.
흠... 왜 그럴까요?
두 가지 방법으로 확률을 구해보겠습니다.
1. 경우의 수
일단 왼쪽부터 문에 A, B, C 를 부여하겠습니다. 그리고 염소는 G, 차는 V로 할겠습니다.
차가 A에 있을 때로 경우의 수를 구해보겠습니다. 나머지 문들도 똑같이 나올 것이니까요.
1) 선택을 바꿀 때
| 선택 | A를 고름 | B를 고름 | C를 고름 |
| 1 | B를 연다 | C를 연다 | B를 연다 |
| 2 | C를 고른다 | A를 고른다 | A를 고른다 |
| 결과 | X | O | O |
2) 선택을 바꾸지 않을 때
| 선택 | A를 고름 | B를 고름 | C를 고름 |
| 1 | B를 연다 | C를 연다 | B를 연다 |
| 2 | A를 고른다 | B를 고른다 | C를 고른다 |
| 결과 | O | X | X |
이제 확실히 보입니다.
선택을 바꿀 때가 $ \frac{2}{3} $, 바꾸지 않을 때가 $ \frac{1}{3} $로 더 확률이 높다는 것을 알 수 있습니다.
전체로 보면 선택을 바꿀 때는 $ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $이고 , 바꾸지 않을 때는 $ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $이 됩니다.
경우의 수를 구하는 것은 직관적으로 알 수 있지만 그 시간이 오래걸리죠.
조건부 확률로 각 과정을 수식으로 표현하여 구해보겠습니다.
2. 조건부 확률
조건부 확률의 표기는 다음과 같습니다.
$$ P(B | A) $$
이것은 사건 A가 일어났을 때, 사건 B가 일어날 확률을 뜻합니다.
조건이 부여되니까 조건부 확률! 이라고 이해하면 편할 거 같습니다.
P는 probability(확률)의 첫 글자로 그 사건이 일어날 확률을 말합니다.
구하는 방법은 이렇습니다.
$$ P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$
그림으로 표현하면?
(보라색) / (빨간색) 입니다.
그럼 천천히 문제를 풀어보겠습니다.
참가자가 A를 고르고 사회자가 B나 C를 열 때로 구해볼 것입니다.
1) 사건을 지정하고 그 확률을 나타내겠습니다.
각 문 뒤에 차가 있을 사건을 A, B, C 라고 하겠습니다. 사회자가 C를 여는 사건은 O로 하겠습니다.
$$ P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3} $$
그럼 이렇게 확률이 나오겠죠?
2) 문을 열 때의 확률을 구하겠습니다.
- 사건 A가 일어났을 때, 사건 O가 일어날 확률
$$ P(O|A) = \frac{P(A \cap O)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} $$
- 사건 B가 일어났을 때, 사건 O가 일어날 확률
$$ P(O|B) = \frac{P(B \cap O)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3}} = 1 $$
- 사건 C가 일어났을 때, 사건 O가 일어날 확률
$$ P(O|C) = \frac{P(C \cap O)}{P(C)} = \frac{\frac{1}{3} \times 0}{\frac{1}{3}} = 0 $$
3) 선택에 따라 차를 고르는 확률, 염소를 고르는 확률을 구하겠습니다.
$ P(O|A) = P(I) $
$ P(O|B) = P(J) $
$ P(O|C) = P(K) $
- A에 차가 있을 확률
$$ P(A|O) = \frac{P(O|A)}{P(I) + P(J) + P(K)} = \frac{0.5}{0.5+1+0} = \frac{1}{3} $$
- B에 차가 있을 확률
$$ P(B|O) = \frac{P(O|B)}{P(I) + P(J) + P(K)} = \frac{1}{0.5+1+0} = \frac{2}{3} $$
이렇게 B에 차가 있을 확률이 A에 차가 있을 확률보다 2배 더 높다는 것을 알 수 있습니다.
즉, 선택을 바꾸는 것이 유리한 것이죠.
이렇게 경우의 수와 조건부 확률을 통해 몬티홀의 역설 문제를 풀어보았습니다.
조건부 확률이 어려울 수도 있지만 이해하면 재밌고 신기한 부분이여서 흥미롭게 공부할 수 있었습니다.
급하게 하루 공부한 것치고는 그나마...? 좋아했던 부분인 것 같습니다.
나중에 이 문제를 코딩한 것을 올려보도록 하겠습니다.