[해석학] 코시 함수 방정식

이 글에선 코시 함수 방정식과 증명을 알아보겠습니다.

 

<코시 함수 방정식>

$$ f(x+y) = f(x) + f(y) $$

 

<증명>

1. $f(x+y) = f(x) + f(y)$이고 $f(x)$가 연속 함수이면 $f(x)=kx$ 이다. (구간 $[a, b]$에서 $f(x)$는 유계, 단조 함수)

1) f(0) = f(0)

 

2) 자연수에서 $f(nx)=nf(x) (n \in \mathbb{N}) $

i) $n=1$ 자명

ii) $n=k$ 일 때, $f(x)=kx$가 성립한다 가정

$ n=k+1$ 일 때

$ f((k+1)x) = f(kx+x) = f(kx) + f(x) \\ = kf(x) + f(x) = (k+1)f(x) $

∴ 성립

 

3) 정수에서 $f(zx)=zf(x) (z \in \mathbb{Z}) $

i) $x → x$, $y → -x$ 대입

$\Rightarrow f(-x) = -f(x) $

ii) $z<0$

$f(zx) = f(-(-zx)) = -f(-zx) \\ = -(-z)f(x) = zf(x)$

∴ 성립

 

4) 유리수에서 $f(qx)=qf(x) (z \in \mathbb{Q})$

$ \forall z \in \mathbb{N}, z ≠ 0 $

 $ f(x) = f(z \cdot \frac{x}{z}) = zf(\frac{x}{z}) $

∴ $\frac{f(x)}{z} = zf(\frac{x}{z})$

모든 유리수 $q$는 $q=\frac{b}{a}$ 꼴로 나타낼 수 있으므로

$ f(qx) = f(\frac{b}{a}) \\ = f(b\cdot \frac{x}{a}) = bf(\frac{x}{a})  \\ = \frac{b}{a}f(x) = qf(x) $

∴ 성립

 

5) 실수에서 $f(rx)=rf(x) (r \in \mathbb{R})$

완비성공리에 의해 임의의 실수 $r$로 수렴하는 유리수열 ${r_n}$을 잡을 수 있다.

$f(rx) = f(x \lim_{n \to \infty}{r_n}) \\ = \lim_ {n \to \infty}{f(r_n x)}= \lim_{n \to \infty}{f(x)}\\ = f(x) \lim_{n \to \infty}{r_n}= rf(x) $

$ \forall x \in \mathbb{R} $
$ f(x) = f(1x) = xf(1) $

$f(1) = k$라 두면 $ f(x) = kx $

∴ 성립